المستخلص
المعادلات التفاضلية ذات الرتب الكسرية (FDEs) هي معادلات تفاضلية تنطوي على مشتقات كسرية. وعلى عكس المشتقات العادية، تُعرَّف المشتقات الكسرية بقوى كسرية لعامل التفاضل. ويمكن أن تنشأ هذه المعادلات في مجموعة متنوعة من المجالات، بما في ذلك الفيزياء والهندسة والبيولوجيا والتمويل. يمثل حل معادلة ريكاتي التفاضلية الكسرية (FRDE) تحديًا بشكل عام نظرًا لعدم خطيتها ووجود حد القوة الكسرية. الطبيعة للمشتقات الكسرية يمكن أن تجعل التعامل مع FRDE أكثر صعوبة مقارنة بالمعادلات التفاضلية العادية. في هذا العمل، قمنا بتطبيق معادلة ريكاتي التفاضلية الكسرية (FRDE) باستخدام طريقة التحويل الزاكي وطريقة تحلل الأدوميان. (ETADM)
الأهداف الرئيسية لهذه الأطروحة هي دراسة وتطبيق الأساليب التقريبية التحليلية الموثوقة للحصول على الحلول التقريبية التحليلية لمعادلات ريكاتي التفاضلية (RSDEs) ومصفوفة ريكاتي للمعادلات التفاضلية (RMDEs) ومن ثم تعميم هذا العمل على الترتيب الكسري. سنقوم أولاً باشتقاق تسلسل الحلول التقريبية لـ RDEs وRMDEs بواسطة ETADM ثم إثبات أن هذا التسلسل من الحلول التقريبية يتقارب بشكل منتظم مع الحل الدقيق. وبعد ذلك سيتم تطبيق ETADM لإيجاد الحل التقريبي لـ 2×2 . RMDEs
النقطة المهمة التي يمكن توضيحها هنا هي أننا استخدمنا ETADM لحل معادلات ريكاتي التفاضليه ومصفوفات ريكاتي للمعادلات التفاضليه ذات الرتب الكسرية .
الهدف الرئيسي الأول لهذا العمل هو التركيز على تقديم مقدمة عامة للأطروحة بالإضافة إلى أدبيات الدراسة. يتم أيضًا تقديم دوافع الدراسة وأهدافها ومنهجيتها معًا.
الهدف الرئيسي الثاني من هذا العمل هو التركيز على تقديم المفاهيم الأساسية للتفاضل والتكامل الكسري المتعلقة بالموضوعات الرئيسية لهذه الأطروحة. سيتم تقديم وصف موجز وأفكار أساسية لبعض الطرق التحليلية التقريبية مثل ADM وElzaki Transform. سيتم عرض بعض الصيغ الأساسية لـ RDEs غير الخطية و RMDE غير الخطية.الهدف الرئيسي الثالث لهذا العمل هو الحصول على الحلول التحليلية التقريبية لـ RDEs وRMDEs باستخدام ETADM، وقد أثبت النهج المقترح بوضوح أنه فعال حسابيًا وموثوقًا ومفيدًا في العديد من الأمثلة في العلوم التطبيقية. أظهرت النتائج أن ETADM فعال للغاية وبسيط ويعطي تقاربًا سريعًا لحلول السلسلة دون إظهار شروط الضوضاء.الهدف الرابع من هذا العمل هو دراسة الحلول التحليلية التقريبية باستخدام الطريقة التكرارية الموثوقة ETADM والتي تم تنفيذها بنجاح لمعادلات ريكاتي التفاضلية الكسورية غير الخطية .(NFRDEs) واحدة من أكثر المعادلات المصفوفية غير الخطية التي تمت دراستها بشكل مكثف والتي ظهرت في الرياضيات والهندسة هي معادلة ريكاتي. هذه المعادلة بشكل أو بآخر لها دور مهم في مشاكل التحكم الأمثل. يتم عرض الرسوم البيانية للحلول لإثبات أفضل إمكانية تطبيق الطريقة المقدمة.
الهدف الخامس من هذا العمل هو دراسة بعض التقنيات وهي طريقة الزاكي وطريقة أدوميان (ETADM)، والتي يتم استخدامها وتنفيذها للحصول على حل تحليلي تقريبي لعدة أنواع من معادلات ريكاتي التفاضلية الكسورية غير الخطية .(NFRMDEs) أشارت إجراءات الحل والنتائج التي تم الحصول عليها إلى أن الطرق المقترحة فعالة وموثوقة ومباشرة. تم ذكر المشتقات الكسرية في .Caputo Sense. تظهر النتائج مدى فعالية ودقة الطريقة الحالية في حل مجموعة من المشاكل غير الخطية في العلوم التطبيقية. تم تطبيق برنامج MATHEMATICA 13.3 لجميع الحسابات والرسومات في هذا العمل. علاوة على ذلك، تم تمثيل بياني لحلول بعض أمثلة الاختبار. بالنسبة للمسائل ذات الترتيب الصحيح والكسري، يتم عرض الرسوم البيانية للحلول. بالإضافة إلى ذلك، تم إجراء العديد من المقارنات بين منهجنا المقترح ETADM مع مناهج أخرى مثل ADM وVIM وHPM لبعض أمثلة الاختبار.
Fractional differential equations (FDEs) are differential equations that involve fractional derivatives. Unlike ordinary derivatives, fractional derivatives are defined by fractional powers of the differentiation operator. These equations can arise in a variety of contexts, including physics, engineering, biology, and finance. The solution of the Fractional Riccati Differential Equation (FRDE) is generally challenging due to its nonlinearity and the presence of the fractional power term. The fractional derivatives can make the FRDE harder to handle compared to ordinary differential equations. In this work, we have applied the Fractional Riccati Differential Equation (FRDE) using the combined of the Elzaki Transform and Adomian Decomposition Method (ETADM).
The major goals of this thesis are to study and apply the reliable analytical approximate approaches to get the analytical approximate solutions for Scalar Riccati Differential Equation (SRDE) and Riccati Matrix Differential Equation (RMDE) and then generalize this work for fractional order. We will first derive the sequence of approximate solutions of RDE and RMDE by ETADM and then proving this sequence of approximate solutions converges uniformly to the exact solution. Then the ETADM will be implemented to find the approximate solution for 2×2 RMDEs. The important point can be made here is that we have used the ETADM to solve Fractional order RDEs and RMDEs.
The first main goal of this work is to focus on presenting a general introduction of the thesis along with the literature of the study. The motivation of the study, objectives and methodology together are also introduced.
The second main goal of this work is to focus on introducing the fundamental concepts of fractional calculus related to the main topics of this thesis. A brief description and basic ideas for some approximate analytical methods such as ADM and Elzaki Transform will be given. Some basic formulations of non-linear RDEs and non-linear RMDE will be presented.
The third main goal of this work is to obtain the approximate analytical solutions for RDEs and RMDEs using ETADM, The proposed approach has clearly demonstrated to be computationally efficient, reliable and useful in several examples in the applied sciences. The results reveal that ETADM is very efficient, simple and gives fast convergence of the series solution without showing noise terms.
The fourth goal of this work is to study the approximate analytical solutions using a reliable iterative method ETADM which has been successfully implemented for Nonlinear Fractional Riccati Differential Equation (NFRDE). One of the most intensely studied nonlinear matrix equations arising in mathematics and engineering is the Riccati equation. This equation in one form or another has an important role in optimal control problems. The solutions graphs are shown to demonstrate the best applicability of the presented method.
The fifth goal of this work is to study a new technique namely the Elzaki Transform Adomian Decomposition Method (ETADM), which is used and implemented to obtain an approximate analytical solution to several types of Nonlinear Fractional Riccati Matrix Differential Equation (NFRMDE). The solution procedure and the results obtained indicated that the proposed methods are effective, reliable, and straightforward. Fractional derivatives are mentioned in Caputo Sense. The results show how effective and precise current method in resolving a range of nonlinear problems in applied science. The MATHEMATICA 13.3 software has been implemented for all the computations and graphics in this work. Moreover, a graphical representation was made for the solutions of all test examples. For integer and fractional order problems, solution graphs are shown. In addition, several comparisons have been made between our suggested approach ETADM with other approaches Like ADM, VIM and HPM for some test examples.
