(Some Generalizations of Extending Modules Relative to Pure closed and 𝒫-essential Submodules)(بعض إعمامات المقاسات التوسعية بالنسبة الى المقاسات الجزئية المغلقة النقية والمقاسات الجزئية الجوهرية من النمط –𝒫)مناقشة

by Ms الاء عبدالعزيز عبدالامير

Sunday 14 Dec 2025, 09:00 → 11:00 Asia/Baghdad

قسم الرياضيات (College of Science for Women)

هذه الرسالة لها ثلاثة أهداف. الهدف الاول هو دراسة وتطوير المقاسات الجزئية المغلقة النقية التي أوجدت من قبل الباحثة ندى الثاني في عام ١٩٩٧. يقال للمقاس الجزئي 𝒱 من المقاس ℳ بأنه جوهري من النمط 𝒫-، إذا كان 𝒱⋂ℒ =٠ لكل مقاس جزئي نقي  ℒمنℳ ، فإنℒ=٠ ، ويكون المقاس الجزئي 𝒱 مغلق نقي إذا لم يكن لـ 𝒱 امتداد فعلي جوهري من النمط -𝒫 في. ℳ

الهدف الثاني هو إعطاء مفهومين جديدين: المقاسات التوسعية من النمط – 𝒫𝑢𝑐

(𝒫𝑢𝑐- extending modules) والمقاسات التوسعية القوية من النمط -𝒫𝑢𝑐 (𝒮𝑝𝑢𝑐-extending modules) ، باستخدام المقاسات الجزئية المغلقة النقية والمقاسات الجزئية الجوهرية من النمط -𝒫. يُقال للمقاس ℳ بأنه مقاس توسعي من النمط -𝒫𝑢𝑐 إذا كان كل مقاس جزئي مغلق نقي من ℳ هو مركبة مجموع مباشر، ويقال للمقاس ℳ بأنه مقاس توسعي قوي من النمط -𝒫𝑢𝑐 إذا كان كل مقاس جزئي من ℳ جوهري من النمط -𝒫 في مركبة مجموع مباشر. إن كلاً من هذين المفهومين الجديدين يمثل اعماماً للمقاس التوسعي.

والهدف الثالث هو اعمام المقاسات التوسعية من النمط – 𝒫𝑢𝑐والمقاسات التوسعية القوية من النمط – 𝒫𝑢𝑐 لتشمل إعمامين جديدين هما: المقاسات التوسعية-المغلقة النقية

(purely closed- extending modules) ، والمقاسات التوسعية-المغلقة النقية بقوة (strongly purely

closed- extending modules) ، على التوالي. يُقال للمقاس ℳ بأنه مقاس توسعي-مغلق نقي إذا كان كل مقاس جزئي مغلق نقي من ℳ هو مقاس جزئي نقي، ويُقال للمقاس ℳ بأنه مقاس توسعي-مغلق نقي بقوة إذا كان كل مقاس جزئي من ℳ هو مقاس جوهري من النمط 𝒫- في مقاس جزئي نقي من. ℳ

حصلت الباحثة على تقدير امتياز

This thesis has three aims, The first aim of this thesis is to develop pure closed submodules, introduced by Nada M. Al-Thani in 1997. A submodule 𝒱 of an ℛ-module ℳ is termed 𝒫-essential if, for every pure submodule ℒ of ℳ with 𝒱⋂ℒ=0, then ℒ=0, and 𝒱 is pure closed if 𝒱 has no proper 𝒫-essential extension in ℳ.

Subsequently, the second aim of this thesis is to explore two new concepts: 𝒫𝑢𝑐-extending and strongly 𝒫𝑢𝑐-extending modules, using pure closed and 𝒫-essential submodules. These concepts are generalizations of the extending module. A module ℳ is named 𝒫𝑢𝑐-extending if each pure closed submodule of ℳ is a direct summand, and ℳ is strongly 𝒫𝑢𝑐-extending if each submodule of ℳ is 𝒫-essential in a direct summand.

In the third aim of this thesis, 𝒫𝑢𝑐-extending and strongly 𝒫𝑢𝑐-extending modules were extended to include two new generalizations: purely closed-extending and strongly purely closed-extending modules, respectively. An ℛ-module ℳ is named purely closed-extending if each pure closed submodule of ℳ is a pure submodule, and ℳ is strongly purely closed-extending if each submodule is 𝒫-essential in a pure submodule of ℳ.

Excellent