(Results on Number Theory Via Group Theory with Application in Cryptography((نتائج في نظرية الاعداد باستخدام نظرية الزمر مع التطبيق في التشفير)مناقشة
by
قسم علوم الحياة
College of Science for Women
تم إجراء عمليات المحاكاة لاختبار أداء الخوارزميتين المقترحتين ومقارنة كل خوارزمية مقترحة بالخوارزمية القياسية باستخدام أكواد بايثون.
تُعدّ نظرية الزمر من الفروع المهمة في الرياضيات لما لها من تطبيقات متعددة في مجالات عديدة مثل نظرية الأعداد والهندسة والتشفير . في هذه الرسالة : اولا تم برهان بعض حقائق نظرية الاعداد استنادا الى مفاهيم في نظريه الزمر باستخدام استراتيجيات جديده مثل معكوس نظرية ويلسون وبعض القضايا الاخرى للتمييز بين الاعداد الاوليه .ثانيا تم عرض تطبيق عملي لهاتين النظرتين (الزمر والاعداد) في التشفير .فقد تم اقتراح تعديلان على خوارزمتي التشفير غير المتماثل المعروفتين RSA, ElGamal . سميت أنظمة التشفير المعدلة هذه باسم Power RSA(P-RSA)و Power ElGamal (P-ElGamal). هذه الانظمه استخدمت قوى الاعداد الصحيحه بدلاً من استخدام الأعداد الأولية بشكل مباشر. وايضا يتم الاحتفاظ بهذه القوى سريه من قبل كل من المُرسل والمستقبِل. كما واستخدمت نظرية الزمر لاثبات صحة عمل هذه الانظمه التشفيريه.
تُظهر نتائج المحاكاة أن تعقيد وقت تنفيذ التشفير باستخدام خوارزمية P-RSA يقارب إلى حد ما وقت تنفيذ التشفير للخوارزميه RSA، بينما يكون وقت تنفيذ عملية التشفير لخوارزمية P-ElGamalأعلى منه في خوارزميتي ElGamalوP-RSA . كذلك، تعقيد وقت تنفيذ عملية فك التشفير باستخدام خوارزمية P-RSAأعلى منه في خوارزميتي RSA وP- ElGamal، الذي بدوره أعلى من وقت فك التشفير باستخدام ElGamalكما ان تعقيد حجم النص المشفر باستخدام خوارزميتي P-RSAوP-ElGamalأكبر منه في خوارزميتي RSA وElGamalعلى التوالي. علاوة على ذلك، يكون حجم التعقيد للمفتاح الخاص والنص المشفر في P-RSAأعلى منه في الخوارزميات الأخرى المقارن به.وهذا يوضح ان دمج نظرية الزمر مع نظرية الأعداد لا يُعزز الفهم النظري فحسب، بل يُقدم أيضًا فوائد عملية في التشفير الحديث. تُبرهن التحسينات المقترحة على قدرة الهياكل الرياضية على مواجهة تحديات الأمن الواقعية.
امتياز
simulations were conducted to test the performance of the two proposed algorithms and compare each proposed algorithm with the standard algorithm using Python code.
: Group theory is one of the important branches of mathematics that has various applications in several fields, including number theory, geometry and cryptography .In this study, first, some facts of number theory were proven based on concepts in group theory, using new strategies such as the inverse of Wilson’s theorem and some other issues for distinguishing between prime numbers. Second, a practical application of these two theories (groups and numbers) in cryptography was presented. Two modifications of the well-known asymmetric encryption algorithms, RSA and ElGamal, were proposed. These modified encryption systems were named Power RSA (P-RSA) and Power ElGamal (P-ElGamal). These systems used powers of integers instead of using prime numbers directly. These powers were also kept secret by both the sender and receiver. Group theory has been used to prove that these cryptosystems work properly.
The simulation results show that the execution time complexity of P-RSA encryption is approximately similar to that of RSA encryption, while the execution time for the encryption process of P-ElGamal is higher than that of both ElGamal and P-RSA. Furthermore, the decryption time complexity of P-RSA is higher than that of RSA and P-ElGamal, which in turn is higher than that of the ElGamal decryption process. The complexity of the ciphertext size of P-RSA and P-ElGamal encryption is larger than that of RSA and ElGamal, respectively. Furthermore, the complexity of the private key and ciphertext in P-RSA is higher than that of other comparable algorithms. This demonstrates that integrating group theory with number theory not only enhances theoretical understanding but also offers practical benefits in modern cryptography. The proposed improvements demonstrate the ability of sports structures to meet real-world security challenges.
Excellent